基本概念

事件与概率基础

1. $\Omega$ -> 样本空间
2. 交并补 -> + × $^-$
3. [[概率-集合代数法|集合代数法]]
4. 概率的性质本质上是事件的性质, 但是加上了事件的独立性(独立可能相容或者不相容, 相容可能独立或者不独立)
5. 相容,互斥与独立 以下为在不允许零概率事件的前提下
   1. 互不相容 = 互斥; 相容表示$AB\not=\emptyset$
   2. 在概率论里:
      • 相容: $A \cap B \neq \emptyset$ (或写成 $AB \neq \emptyset$), 表示 A 和 B 可以同时发生.
      • 互不相容/互斥: $A \cap B = \emptyset$ (或 $AB = \emptyset$), 表示 A 和 B 不能同时发生.
   3. 相容与独立
      • 相容只要求交集非空, 是一个集合层面的概念;
      • 独立要求 $P(AB) = P(A)P(B)$, 是一个概率层面的概念
   4. 相容可能独立或者不独立 -> 比如, 第一枚硬币为正和第二枚硬币为正, 一张扑克牌为红或者红桃
   5. 独立一定相容 -> $P(AB)=P(A)P(B)>0$

   如果允许零概率事件, 则可能出现A非空但是概率为0且与B有交集的情况

6. 随机事件的独立性 -> 以下有一些特殊的关系(零概率事件和必然事件) 多个事件的两两独立与相互独立 $若P(B)\not=0, A与B独立 ⇔ P(A|B)=P(A)⇔P(A|B)=P(A|\bar{B})$ $若P(A)=0或P(A)=1, 则对任意事件B有P(AB)=P(A)P(B)$ $若A⊆B, 则P(A)=0或P(B)=1 ⇔ P(AB)=P(A)P(B)$ $若AB互斥, 则P(AB)=P(A)P(B) ⇔P(A)=0或P(B)=0$
7. 概率 -> 画韦恩图, 加法直接算, 乘法需要化简
8. 条件概率 -> P(B|A)=P(AB)/P(A) -> 所有公式都可以通过这个推出
9. [[概率-全概率公式|全概率公式, 贝叶斯公式]]

三大概型

1. 古典概型 -> 等可能有限样本
2. 几何概型 -> 用度量算概率
3. 伯努利概型 -> 对立结果$A$,$\bar{A}$, 独立重复进行n次, 正好A有k次$P(n,A,k)=C^k_n p^{k}(1-p)^{n-k}$

结论

1. $P(AB),P(A)P(B)$的大小关系, 取决于 A 和 B 的相关性:
   • 正相关: $P(AB) > P(A)P(B)$; -> A=B, P(A)=1/2
   • 独立: $P(AB) = P(A)P(B)$;
   • 负相关: $P(AB) < P(A)P(B)$ -> 极端情形互斥: 若 $AB=\emptyset$ 且 $P(A)>0, P(B)>0$, 则$P(AB)=0 < P(A)P(B)$
2. 独立性在取补事件的操作下保持不变
   • A 与 C 独立;
   • A 与 $\bar{C}$ 独立;
   • $\bar{A}$ 与 C 独立;
   • $\bar{A}$ 与 $\bar{C}$ 独立;
3. 由2, 遇到互斥$P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)=P(A)$, 遇到独立,$P(A\bar{B})=P(A)(1-P(B))$
4. 关于[[概率-”停时”问题]], 看似可能有无穷种可能, 实际上只取决于有限甚至当下情况, 仍然能属于古典概型的范围
5. 独立判别有一种隐晦的不可能情况 -> 若0< P(A),P(B) <1, P(A∪B)=1, 则A,B不可能相互独立, 因为1=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B), 即因式分解有P(A)=1或P(B)=1
6. 独立性检验请用公式计算

总结

• [[概率_1]]